Гауссово распределение. Основные соотношения
Гауссово распределение известно всем. Но каждый раз, когда надо прикинуть соотношение параметров при оценке реального распределения, возникают трудности (надо либо искать книжку с таблицами, либо считать на компьютере).
Предельно упрощенный подход к проблеме (в случае одномерного распределения) изображен на рисунке.
Здесь:
- х – отклонение от центра распределения, нормированное на «сигму» (на среднеквадратическое отклонение - СКО);
- а(х) – ордината Гауссова распределения, соответствующая х и нормированная на максимум распределения;
- b(х) – доля полной площади под кривой распределения а(х), заключенная в пределах от (–х) до (+х).
х -х а(х) 1 в(х)
Физический смысл приведенных соотношений поясним следующими примерами (в предположении, что ситуация дает достаточные основания полагать распределение Гауссовым). .
1. Ширина линии излучения определена по уровню 0,5 от максимума. Какая доля полной мощности распространяется в пределах этой ширины. Ответ: 0,76.
2. Результат измерений с вероятностью 0,95 должен находиться в некоторых пределах. Каковы эти пределы? Ответ: ±2 СКО.
3. По какому уровню интенсивности следует измерять ширину линейного пучка полупроводникового лазера, в пределах которой должно быть сосредоточено 0,9 полной мощности. Ответ: по уровню 0,256 от максимальной интенсивности.
Двумерное осесимметричное Гауссово распределение легко получается вращением функции а(х) вокруг центральной оси (х, при этом, становится радиусом). Для его описания удобно дополнительно использовать функцию с(х), соответствующую доле полного объема под поверхностью двумерного распределения в пределах круга радиусом х (см. рисунок).
Осесимметричное Гауссово распределение обладает уникальными свойствами. Например,
функция а(х) не только описывает изменение плотности в центральном сечении (а при нормировании на единицу и в любом другом сечении), но и распределение в любой проекции двумерного распределения.
. Аналогично, функция b(х) , соответствует не только доле полной площади под кривой сечения, заключенной в пределах от –х до +х, но и доле полного объема под поверхностью в пределах полосы шириной 2х.
Очевидно, что при увеличении х функция b(х) нарастает быстрее, чем функция с(х).
Кроме того, нетрудно показать, что для любого х значение с(х) численно равно 1- а(х). Взаимосвязь всех параметров отражена в таблице.
Физический смысл приведенных соотношений поясним следующими примерами.
Допустим, мы располагаем сканирующим измерителем ширины пучка с использованием тонкой щели или края ножа. Пучок непрерывного излучения можно считать Гауссовым. Тогда:
1.Для измерения диаметра пучка, в пределах которого содержится 0,5 полной мощности необходимо определить ширину полосы, в пределах которой содержится 0,7620 полной мощности.
2. Для измерения диаметра пучка по уровню 0,135 (1/е2) интенсивности необходимо определить ширину полосы, в пределах которой содержится 0,9544 полной мощности.
